Formalismo ao estilo de Hilbert para noções de consequência bidimensionais

relações de consequência bidimensionais, sistemas de demonstração ao estilo de Hilbert, semânticas não-determinísticas, busca de demonstrações, mCi

O presente trabalho propõe um formalismo dedutivo bidimensional à Hilbert (H-formalismo) para relações de B-consequência, uma classe de lógicas bidimensionais que generalizam as noções usuais (Tarskianas, unidimensionais) de lógica. Nós argumentamos que o ambiente bidimensional é apropriado para o estudo do bilateralismo em lógica, por permitir que julgamentos primitivos de asserção e denegação (ou, como preferimos, as atitudes cognitivas de aceitação e rejeição) ajam em dimensões independentes e capazes de interagir entre si ao determinar as inferências válidas de uma lógica. Nessa perspectiva, o formalismo proposto constitui um aparato inferencial para raciocinar sobre julgamentos bilateralistas. Após uma descrição detalhada do funcionamento do formalismo proposto, o qual é inspirado nos sistemas de Hilbert simétricos, nós provemos um algoritmo de busca de demonstrações que executa em tempo exponencial, em geral, e em tempo polinomial quando apenas regras contendo no máximo uma fórmula no sucedente estão presentes no sistema em questão. Então, nós passamos a investigar semânticas não-determinísticas bidimensionais por meio de estruturas de matrizes contendo dois conjuntos de valores distinguidos, um qualificando alguns valores de verdade como aceitos, e o outro, alguns valores como rejeitados, constituindo um caminho semântico para o bilateralismo no ambiente bidimensional. Nós apresentamos e implementamos também um algoritmo para a produção de sistemas de Hilbert bidimensionais para matrizes não-determinísticas bidimensionais  suficientemente expressivas, bem como alguns procedimentos de simplificação que permitem reduzir consideravelmente o tamanho e a complexidade do sistema resultante. Para matrizes finitas, vale apontar, o procedimento resulta em sistemas finitos. Ao final, como estudo de caso, investigamos a lógica da inconsistência formal chamada mCi quanto à sua axiomatizabilidade por sistemas ao estilo de Hilbert. Demonstramos que não há sistemas de Hilbert finitos unidimensionais que capturem essa lógica, mas que ela habita uma relação de consequência bidimensional finitamente axiomatizável por um sistema de Hilbert bidimensional. A existência desse sistema segue diretamente do algoritmo de axiomatização proposto, em vista da semântica bidimensional 5-valorada não-deterministíca suficientemente expressiva que determina a relação de consequência bidimensional mencionada.